Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Vĩnh Phúc (Có lời giải)

Nội dung text: Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Vĩnh Phúc (Có lời giải)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2021 - 2022 MÔN THI: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (2,0 điểm) Trong mỗi câu sau, mỗi câu chỉ có một lựa chọn đúng. Em hãy ghi vào bài làm chữ cái in hoa đứng trước lựa chon đúng (Ví dụ: Câu 1 nếu chọn A là đúng thì viết 1.A). Câu 1. Biểu thức ,- x 2021 . có nghĩa khi và chỉ khi A. x 2021. B x 2021.C. x 2021. D. x 2021. 2 Câu 2. Đồ thị hàm số y ax ( a là tham số) đi qua điểm M 1;4 . Giá trị của a bằng A. 4. B. 1. C. 4. D. 1. 2 Câu 3. Tổng hai nghiệm của phương trình 2x 7x 3 0 là 7 -7 3 -3 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 1 Câu 4. Cho ABC vuông tại A có cos ABC= , BC 9 cm . Độ dài cạnh AB bằng 3 A. 27cm. B. 6 2 cm. C. 6cm. D. 3cm. II. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm) Câu 5 (1,25 điểm). Giải phương trình x 2 x 2 0 . 3x y 4 Câu 6 (1,25 điểm). Giải hệ phương trình . 2x 3y 1 Câu 7 (1,0 điểm). Cho parabol (P) : y x2 và đường thẳng d : y 2x m (với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có 2 2 A x1, y1 , B x2 , y2 sao cho y1 y2 x1 x2 6 x1 x2 . Câu 8 (1,0 điểm). Một đội công nhân A và B làm chung một công việc và dự định hoàn thành trong 12 ngày. Khi làm chung được 8 ngày thì đội A được điều động đi làm việc khác, đội B tiếp tục làm phần việc còn lại. Kể từ khi làm một mình, do cải tiến cách làm nên năng suất của đội B tăng gấp đôi, do đó đội B đã hoàn thành phần việc còn lại trong 8 ngày tiếp theo. Hỏi với năng suất ban đầu thì mỗi đội làm một mình sẽ hoàn thành công việc đó trong bao lâu? Câu 9 (3,0 điểm). Cho đường tròn O và điểm A nằm ngoài đường tròn. Qua điểm A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC đến O ( B,C là các tiếp điểm). Kẻ tia Ax (nằm giữa hai tia AB, AO ) cắt đường tròn tại E và F E nằm giữa A và F ) . ( a) Chứng minh rằng tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh rằng BA2 AE.AF và O· EF O· HF , với H là giao điểm của AO và BC . c) Đường thẳng qua E song song với BF cắt đường thẳng BC tại K. Đường thẳng AK cắt đường thẳng BF tại M. Chứng minh rằng MC 2HF. Câu 10 (0,5 điểm). Cho a,b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc 1. Chứng minh rằng a 1 b3 b 1 c3 c 1 a3 0 b3 c3 a3 ___ HẾT ___
2. LỜI GIẢI ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2021 – 2022 I. PHẦN TRẮC NGHIỆM(2,0 điểm) Mỗi câu đúng được 0,5 điểm. Câu 1 2 3 4 Đáp án A C B D II. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm) Câu 5 (1,25 điểm). Giải phương trình x 2 x 2 0 Lời giải Phương trình đã cho có a b c 0 . Suy ra phương trình có hai nghiệm x 1 và x 2 . 3x y 4 Câu 6 (1,25 điểm). Giải hệ phương trình 2x 3y 1 Lời giải 3x y 4 6x 2y 8 11y 11 x 1 2x 3y 1 6x 9y 3 2x 3y 1 y 1 Câu 7 (1,0 điểm). Cho parabol (P) : y x2 và đường thẳng d : y 2x m (với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có 2 2 A x1, y1 , B x2 , y2 sao cho y1 y2 x1 x2 6 x1 x2 . Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là: x 2 2x m x 2 2x m 0 1 Ta có: ' 1 m Điều kiện để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt là phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) có hai nghiệm phân biệt. ĐK: 1 m 0 m 1 * Khi đó x1, x2 là các hoành độ giao điểm của d và (P) nên x1, x2 là các nghiệm của phương trình hoành độ của d và (P) . Do đó theo hệ thức Viet ta có: x1 x2 2 x1 x2 m 2 2 Khi đó, y1 y2 x1 x2 6 x1 x2 . 2 2 2 2 x1 x2 x1 x2 6 x1 x2 . 2 2 2 x1 x2 2x1x2 x1 x2 6 x1 x2 . m 2 TM * 4 2m m2 12 m2 2m 8 0 m 4 KTM * Vậy m 2 thỏa mãn. Câu 8 (1,0 điểm). Một đội công nhân A và B làm chung một công việc và dự định hoàn thành trong 12 ngày. Khi làm chung được 8 ngày thì đội A được điều động đi làm việc khác, đội B tiếp tục làm phần việc còn lại. Kể từ khi làm một mình, do cải tiến cách làm nên năng suất của đội B tăng gấp đôi,
3. do đó đội B đã hoàn thành phần việc còn lại trong 8 ngày tiếp theo. Hỏi với năng suất ban đầu thì mỗi đội làm một mình sẽ hoàn thành công việc đó trong bao lâu? Lời giải Gọi thời gian đội A và đội B làm một mình xong công việc lần lượt là x, y (ngày). ĐK x, y 12 1 Mỗi ngày, đội A làm được công việc x 1 Mỗi ngày, đội B làm được công việc x 1 Mỗi ngày, hai đội làm được công việc 12 1 1 1 Ta có phương trình: 1 x y 12 2 Trong 8 ngày làm chung, hai đội làm được công việc 3 16 Trong 8 ngày tiếp theo, do tăng năng suất gấp đôi nên đội B làm được công việc y 2 16 Ta có phương trình: 1 2 3 y Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x y 12 x y 12 x 16 x y 12 TMDK 2 16 16 1 y 48 1 y 48 3 y y 3 Vậy thời gian đội A và đội B làm một mình xong công việc lần lượt là 16; 48 (ngày). Câu 9 (3,0 điểm). Cho đường tròn O và điểm A nằm ngoài đường tròn. Qua điểm A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC đến O ( B,C là các tiếp điểm). Kẻ tia Ax (nằm giữa hai tia AB, AO ) cắt đường tròn tại E và F E nằm giữa A và F ) . ( a) Chứng minh rằng tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh rằng BA2 AE.AF và O· EF O· HF , với H là giao điểm của AO và BC . c) Đường thẳng qua E song song với BF cắt đường thẳng BC tại K. Đường thẳng AK cắt đường thẳng BF tại M. Chứng minh rằng MC 2HF. Lời giải
4. B F P M E K A H O C a) Chứng minh rằng các tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn. Vì AB, AC là các tiếp tuyến của O nên ·ABO ·ACO 900 Xét tứ giác ABOC có ·ABO ·ACO 900 900 1800 nên tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh rằng BA2 AE.AF và O· EF O· HF , với H là giao điểm của AO và BC . * Xét ABE và AFB có: · · 1 » ABE AFB sd EB 2 B· AE - góc chung Do đó, ABE : AFB AB AE Suy ra, AB2 AE.AF 1 AF AB OB OC (GT ) *  AO là trung trực của BC AB AC (t / c) AO  BH ABO vuông tại B , đường cao BH nên AB2 AH.AO 2 AE AH Từ (1) và (2) ta có AE.AF AH.AO AO AF Suy ra AEH : AOF c.g.c ·AHE A· FO EHOF nội tiếp O· HF O· EF c) Đường thẳng qua E song song với BF cắt đường thẳng BC tại K. Đường thẳng AK cắt đường thẳng BF tại M. Chứng minh rằng MC 2HF. Gọi giao điểm của BC và AF là P EK AE EK EP EK//BM , 3 FM AF BF FP Lại có:
5. O· HF O· EF cmt O· FE O· EF ( OEF cân) ·AHE E· FO cmt Suy ra ·AHE F· HO Mà ·AHE E· HB F· HO F· HB 900 EP EH E· HB F· HB HB là tia phân giác E· HF 4 FP FH EHF có HB là phân giác trong E· HF , HP  HA nên HA là đường phân giác góc ngoài của E· HF EA EP 5 FA FP EK EK Từ (3), (4) và (5) suy ra: BF FM FM BF HF là đường trung bình BCM CM 2HF Câu 10 (0,5 điểm). Cho a,b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc 1. Chứng minh rằng a 1 b3 b 1 c3 c 1 a3 0 b3 c3 a3 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a b c a b c b3 c3 a3 a b c a2c b2a c2b 0 abc 1 3 3 3 2 2 2 b c a b c a Do đó ta cần CM a b c a2c b2a c2b a b c * b3 c3 a3 b2 c2 a2 Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta được: a2c b2a a2c b2a c 33 . .c 3a b2 c2 b2 c2 b2a c2b b2a c2b a 33 . .a 3b c2 a2 c2 a2 a2c c2b a2c c2b b 33 . .b 3c b2 a2 b2 a2 Cộng từng vế các bất đẳng thức trên và thu gọn ta được: a2c b2a c2b a b c b2 c2 a2
6. Dấu bằng xảy ra khi a b c 1 .